为什么大圆劣弧是最短的航线，而不是两点之间的纬线？
因为两点之间的轨迹是球面的弧线。具体分析如下(教学课件截取): “球面距离”的教学设计 □ 陈满芝 六、 设计教学过程 1．在问题情况下，引入问题 1993年4月7日，中国东方航空公司的航班喷气飞机从上海飞往洛杉矶，被迫在阿拉斯加阿留申群岛的一个空军基地紧急着陆。4月9日，除60名伤员留在阿拉斯加安克雷奇医院外，其余173名乘客已于4月9日抵达洛杉矶。(多媒体演示飞机从上海起飞，停留在阿留申群岛，继续飞往洛杉矶，并留下飞机路线) 2．新课教学 学生问：为什么飞机不沿直线飞行？ 老师:让学生在地球仪上找到这三个城市的位置。 (上海和洛杉矶都在北纬30o略北的位置，上海的经度在东经120o梢偏东，洛杉矶的经度在西经120o略西。） 老师：从世界地图上看，它似乎最接近北纬30o的圆形距离，但为什么从上海飞往洛杉矶的飞机被迫降落在东北的阿拉斯加呢？这不是绕道吗？ 生：飞机绕道而行。 出生:飞机没有绕道，因为这是浪费燃料。 生:受气流影响。 师：选择航线的标准是什么？ 出生:尽可能短的行程。 师:航线距离如何最短或尽可能短，实际上转化为地球两点之间最短距离的问题。 老师:复习七个距离:两点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，异面直线之间的距离，平行线之间的距离，平行于平面的直线和平面之间的距离，平行于平面之间的距离。 老师：这七种距离的共同特征是什么？ 生总结是一条线段的长度，具有最小性和独特性。 师:那么球面上两点之间的距离和前面的距离一样吗？ 3．实践测试，探索未知 在几何画板的帮助下，学生们做了几个以线段AB为公共弦的圆，并利用画板中的测量功能，分别得到这些圆中弦AB的长度。 学生猜测：以线段AB为公共弦的几个圆中，半径较大的圆，弦对的劣弧长较小。 因为这个命题的证明不是本课的重点，有兴趣的学生可以在课外完成。 到目前为止，球面距离的概念已经呼之欲出，让学生用数学语言来陈述球面距离的定义。 4．球面距离的定义： 球面上两点之间的最短距离是大圆在这两点之间的劣弧(或不超过半弧)的长度，称为两点之间的球面距离。 5．例题分类，寻求解法 ① 经度相同、纬度不同的球面距离 例1． 请估计北京和香港之间的球面距离 结论：纬度差的绝对值乘以地球的半径。 ② 两地之间的球面距离纬度相同，经度不同 例2．从上海到洛杉矶的距离。 例3．已知A位于东经40o，北纬45o，东经130o，北纬45o，求A和B之间的球面距离 解：如图所示，A、B都在北纬450圈，所以∠AOO1=∠BOO1=450， AO1=BO1=Rsin45= ，又因为A、B的经度分别是东经400、因此，经度相差900，即∠AO1B=900，所以AB=R，球心角∠AOB= 弧度，所以A、B两地球面距离为 例4．已知地球两地的位置是南纬45°和东经135°、北纬45°和西经135°，地球的半径是R，要求两地球面之间的距离． 解：东经135°与西经135°的经度差是90°，对应的两个半大圆形成直角． 两个地方分别是A，B，球心为O，OA=OB． OA，OB和轴线均为45°赤道两侧有角． ∠AOB=弧长为120o(过程略) ∴两地球面距离为 例5．一家国际航空公司计划开通从杭州(东经120o，北纬30o)到列宁格勒(东经30o，北纬60o)的航线，请计算两个城市之间的航程(地球被视为半径为R=6370公里的球体，飞机的飞行高度被忽略， ） 解：如图所示，A、B分别表示杭州(东经12000、北纬300）、列宁格勒(东经3000、北纬600）， 则∠AOO1=600，AO1= ，OO1= ， ∠BOO2=300，BO2= ，OO2= 又因为A、B的经度相差900，O1O2= – ， 所以点AO1、BO2是一条相互垂直的异面直线，从异面直线上两点的距离公式得出：AB2= AO12+ BO22+ O1O22=（2- ）由余弦定理的R2：cos∠AOB= ，cos1.137= ，因此A、B对应的球心角∠AOB =1.137弧度，所以A、B两地球面距1.137*6370=7243(公里)。 答:这两个城市之间的航程约为7243公里。 答:这两个城市之间的航程约为7243公里。 总结:计算球面距离的关键是先找出这两点大圆的劣弧对准的圆心角(球心角)，根据弧长可以找出劣弧长，即这两点的球面距离。 5．能力检测 练习1。球的直径为20cm，球上有A、B两点，直线距离为10cm，然后球上A、B两点之间的距离（ ） A.10cmB.10л D.6．总结主题，交流经验 由学生总结，可以从经验、方法和球面距离的具体要求进行总结。