证明向量的数量积公式？
向量的数量积（又称为点积或内积）可以使用向量的坐标表示和向量的模长进行证明。以下是向量的数量积公式的证明：
设两个向量为 𝐴 = (𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃) 和 𝐵 = (𝑏₁, 𝑏₂, 𝑏₃)，我们要证明它们的数量积公式为 𝐴·𝐵 = 𝑎₁𝑏₁ + 𝑎₂𝑏₂ + 𝑎₃𝑏₃。
根据数量积的定义，有：
𝐴·𝐵 = ‖𝐴‖ ‖𝐵‖ cos(θ)，其中 ‖𝐴‖ 和 ‖𝐵‖ 分别表示 𝐴 和 𝐵 的模长，θ 表示 𝐴 和 𝐵 之间的夹角。
我们先来证明 𝐴·𝐵 = 𝑎₁𝑏₁ + 𝑎₂𝑏₂，即 𝐴 和 𝐵 在二维平面上的数量积。
由向量的定义可知，向量 𝐴 可以表示为：
𝐴 = 𝑎₁𝑖 + 𝑎₂𝑗，
其中 𝑖 和 𝑗 分别是二维坐标系的单位向量。
同样，向量 𝐵 可以表示为：
𝐵 = 𝑏₁𝑖 + 𝑏₂𝑗。
现在我们计算 𝐴·𝐵：
𝐴·𝐵 = (𝑎₁𝑖 + 𝑎₂𝑗) · (𝑏₁𝑖 + 𝑏₂𝑗)
= 𝑎₁𝑏₁(𝑖·𝑖) + 𝑎₂𝑏₁(𝑗·𝑖) + 𝑎₁𝑏₂(𝑖·𝑗) + 𝑎₂𝑏₂(𝑗·𝑗)
= 𝑎₁𝑏₁ + 𝑎₂𝑏₂，因为 𝑖·𝑖 = 𝑗·𝑗 = 1，𝑖·𝑗 = 0。
所以在二维平面上，向量的数量积公式为 𝐴·𝐵 = 𝑎₁𝑏₁ + 𝑎₂𝑏₂。
接下来，我们扩展到三维空间。
设向量 𝐴 在三维空间中的表示为：
𝐴 = 𝑎₁𝑖 + 𝑎₂𝑗 + 𝑎₃𝑘，
其中 𝑖，𝑗 和 𝑘 分别是三维坐标系的单位向量。
同样，向量 𝐵 在三维空间中的表示为：
𝐵 = 𝑏₁𝑖 + 𝑏₂𝑗 + 𝑏₃𝑘。
计算 𝐴·𝐵：
𝐴·𝐵 = (𝑎₁𝑖 + 𝑎₂𝑗 + 𝑎₃𝑘) · (𝑏₁𝑖 + 𝑏₂𝑗 + 𝑏₃𝑘)
= 𝑎₁𝑏₁(𝑖·𝑖) + 𝑎₂𝑏₁(𝑗·𝑖) + 𝑎₃𝑏₁(𝑘·𝑖) + 𝑎₁𝑏₂(𝑖·𝑗) + 𝑎₂𝑏₂(𝑗·𝑗) + 𝑎₃𝑏₂(𝑘·𝑗) + 𝑎₁𝑏₃(𝑖·𝑘) + 𝑎₂𝑏₃(𝑗·𝑘) + 𝑎₃𝑏₃(𝑘·𝑘)